% 在原假设\(H_0\)中，\(x=n\) ，这里 \(n\) 服从正态分布 n ∼ N( 100/3,
% 100/3) ，即 n 的均值 μ= 100/3，方差 \(σ^2 = 100/3\) 。
% 在备择假设\(H_1\)中，\(x=n+10\) ，意味着在备择假设下 x 的值比原假设下 n
% 的值大 10 。 请计算虚警概率 \(P_f = 10^{-6}\) 时，
% 检测概率\(P_d\)的大小。

\section{问题描述}\label{ux95eeux9898ux63cfux8ff0}

在假设检验中：

\textbf{原假设 \(H_0\)}：\(x = n\)，其中
\(n \sim \mathcal{N}(\mu_0, \sigma_0^2)\)，\(\mu_0 = \frac{100}{3}\)，\(\sigma_0^2 = \frac{100}{3}\)。

\textbf{备择假设 \(H_1\)}：\(x = n + 10\)，其中
\(n \sim \mathcal{N}(\mu_0, \sigma_0^2)\)，因此
\(x \sim \mathcal{N}(\mu_1, \sigma_1^2)\)，\(\mu_1 = \mu_0 + 10 = \frac{130}{3}\)，\(\sigma_1^2 = \sigma_0^2 = \frac{100}{3}\)。

给定虚警概率 \(P_f = 10^{-6}\)，需计算检测概率 \(P_d\)。

\section{计算步骤}\label{ux8ba1ux7b97ux6b65ux9aa4}

\subsection{{计算检测门限 $\eta$ }}\label{ux8ba1ux7b97ux68c0ux6d4bux95e8ux9650-eta}

虚警概率 \(P_f\) 定义为当 \(H_0\) 为真时拒绝 \(H_0\) 的概率： \[
P_f = P(x > \eta \mid H_0) = 10^{-6}
\] 在 \(H_0\) 下，\(x \sim \mathcal{N}(\mu_0, \sigma_0^2)\)，其中：

\(\mu_0 = \frac{100}{3} \approx 33.3333\) ,

\(\sigma_0 = \sqrt{\frac{100}{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} \approx 5.7735\)

标准化： \[
P\left( \frac{x - \mu_0}{\sigma_0} > \frac{\eta - \mu_0}{\sigma_0} \mid H_0 \right) = 10^{-6}
\]

设 \(Z \sim \mathcal{N}(0, 1)\)，则： 
\[
    P\left( Z > k \right) = 10^{-6}, \quad k = \Phi^{-1}(1 - 10^{-6})
\]

其中 \(\Phi^{-1}\) 是标准正态分布的反累积分布函数。查表或计算得： 
\[
    k \approx 4.75342430882
\] 

因此：

\[
    \frac{\eta - \mu_0}{\sigma_0} = k \implies \eta = \mu_0 + k \sigma_0
\]

代入数值： 
\[
    \eta = \frac{100}{3} + 4.75342430882 \times \frac{10}{\sqrt{3}} \approx 33.3333 + 4.75342430882 \times 5.7735026919 \approx 60.7771
\]

\subsection{{计算检测概率 $P_d$  }}\label{ux8ba1ux7b97ux68c0ux6d4bux6982ux7387-p_d}

检测概率 \(P_d\) 定义为当 \(H_1\) 为真时拒绝 \(H_0\) 的概率： \[
P_d = P(x > \eta \mid H_1)
\] 在 \(H_1\) 下，\(x \sim \mathcal{N}(\mu_1, \sigma_1^2)\)，其中： -
\(\mu_1 = \frac{130}{3} \approx 43.3333\) -
\(\sigma_1 = \sigma_0 = \frac{10}{\sqrt{3}} \approx 5.7735\)

标准化： \[
P_d = P\left( \frac{x - \mu_1}{\sigma_1} > \frac{\eta - \mu_1}{\sigma_1} \mid H_1 \right) = P\left( Z > d \right)
\] 其中 \(Z \sim \mathcal{N}(0, 1)\)，且： \[
d = \frac{\eta - \mu_1}{\sigma_1} = \frac{60.7771 - 43.3333}{5.7735} \approx \frac{17.4438}{5.7735} \approx 3.0214
\] 或符号计算： \[
d = k - \frac{10}{\sigma_0} = 4.75342430882 - \sqrt{3} \approx 4.75342430882 - 1.73205080757 = 3.02137350125
\] 计算： \[
P_d = P(Z > 3.02137350125)
\] 查标准正态分布表或计算累积分布函数： \[
\Phi(3.02137350125) \approx 0.9987418764
\] 因此： \[
P_d = 1 - \Phi(3.02137350125) \approx 1 - 0.9987418764 = 0.0012581236
\]

\section{最终结果}\label{ux6700ux7ec8ux7ed3ux679c}

检测概率为： 
\[
    \boxed{P_d = 0.001258}
\]

这表示在给定虚警概率 \(P_f = 10^{-6}\) 下，检测概率约为
\(0.1258\%\)。
